Questões de Matemática

01-ENEM - 2007 - Considere-se que cada tonelada de cana-de-açúcar permita a produção de 100 litros de álcool combustível, vendido nos postos de abastecimento a R$ 1,20 o litro. Para que um corta-cana pudesse, com o que ganha nessa atividade, comprar o álcool produzido a partir das oito toneladas de cana resultantes de um dia de trabalho, ele teria de trabalhar durante
a) 3 dias.   

b) 18 dias.      

c) 30 dias.     

d) 48 dias.   

e) 60 dias.

COMENTÁRIO: Como cada tonelada de cana permitir extrair 100 litros de álcool combustível, vendido a R$ 1,20 e, o corta-cana derruba 8 toneladas por dia, o valor comercial, em reais, produzido diariamente por este trabalhador é:
(100 litros) x (8 toneladas) x (R$ 1,20) = R$ 960,00
Como o corta-cana ganha R$ 2,50 por cada uma das 8 toneladas cortada por dia, o valor recebido por ele em 1 dia de trabalho é:
(8 toneladas) x (R$ 2,50) x (1 dia) = R$ 20,00
Logo, um corta-cana precisaria trabalhar 960 ÷ 20 = 48 dias, para comprar todo o álcool produzido por ele em um dia de trabalho. 

02-As figuras acima apresentam dados referentes aos consumos de energia elétrica e de água relativos a cinco máquinas industriais de lavar roupa comercializadas no Brasil. A máquina ideal, quanto a rendimento econômico e ambiental, é aquela que gasta, simultaneamente, menos energia e água.

Com base nessas informações, conclui-se que, no conjunto pesquisado,
A) quanto mais uma máquina de lavar roupa economiza água, mais ela consome energia elétrica.
B) a quantidade de energia elétrica consumida por uma máquina de lavar roupa é inversamente proporcional à quantidade de água consumida por ela.
C) a máquina I é ideal, de acordo com a definição apresentada.
D) a máquina que menos consome energia elétrica não é a que consome menos água. 
E) a máquina que mais consome energia elétrica não é a que consome mais água. 

COMENTÁRIO: 

– A máquina que mais economiza água (máquina I) não é a que mais gasta energia elétrica (máquina V). 

Logo, a alternativa A é falsa.

– Se a quantidade de energia elétrica consumida e a quantidade de água consumida fossem inversamente proporcionais, a alternativa A seria verdadeira. Conclusão, a alternativa B é falsa.

– A máquina I, apesar de ser a que gasta menos água, mas não é a que consome menos energia; logo ela não é a máquina ideal. Sendo assim, a alternativa C é falsa.

– A máquina V é a que consome mais energia elétrica e também mais água. Logo, a alternativa E é falsa.

ENEM PRA VALER : Matemática Básica

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Matemática Básica engloba vários temas cobrados no Enem e nos vestibulares. Prepare-se para as provas com dicas, conceitos e exercícios resolvidos.

JUROS SIMPLES:

CONCEITO

Na matemática financeira, os juros simples consistem num percentual calculado a partir de um valor inicial. Esse rendimento é aplicado sobre uma quantia de dinheiro emprestado, como um aluguel pelo empréstimo daquele dinheiro. Diferente dos juros compostos, os juros simples são baseados no capital inicial, independente de futuros aumentos ao longo do tempo da dívida.

Geralmente relacionados a prestações de curto prazo, os juros simples podem ser calculados através da seguinte fórmula:

J = C i t

J = juros simples

C = capital inicial

i = taxa de juros (%)

t = tempo de aplicação (mês, bimestre, semestre...)

Imagine que um colega do seu trabalho peça emprestado uma boa quantidade de dinheiro: R$1.000,00. Ele promete devolver esse dinheiro em 3 meses e ainda fará um jantar em sua casa como uma forma de retribuir esse grande favor. Assim, esse jantar é uma espécie de juros. Tudo o que não envolver o valor prometido todo valor extra – o jantar no exemplo – é chamado de juros. Na realidade, os juros são na maioria das vezes, na forma de dinheiro. Então, se seu colega fosse pedir esse empréstimo ao banco, ele teria que devolver os mil reais e ainda pagar, digamos, cento e cinquenta reais de juros. Assim, a taxa de juros pode ser calculada como: 150,00/1000,00 = 15/100 = 15%. 

EXEMPLOS

1. Quanto teremos em 6 meses se aplicarmos um capital inicial de R$3.000,00 a um juros simples de 5% ao mês? 

Solução 

Vamos calcular o rendimento mês a mês. No primeiro, teremos 5% de R$3.000,00. Ou seja, R$150,00. No segundo, teremos também R$150,00. E assim para os quatro meses restantes. Por fim, temos R$150,00 x 6 meses = R$900,00 de rendimentos. Como iniciamos com R$3.000,00, temos no fim R$3000,00 + R$900,00 = R$3.900. 

Repare que desse exemplo podemos criar uma regra. Chamemos o capital inicial deC, a taxa de juros de i, o tempo de t e o montante final de M. Note que o rendimento mensal foi calculado da forma i x C e o rendimento total foi o rendimento mensal multiplicado pela quantidade de meses: (i x C) x t ou simplesmente Cit. Para o montante final, bastou somar o capital inicial ao rendimento total: M = C + Cit. Escrevendo de uma maneira um pouco mais simples: M = C(1+it).

2. Um investimento inicial de R$ 6.000,00 teve um saldo final de R$ 11.760,00 em um ano. Qual foi a taxa de rendimento mensal desse investimento? 

Resposta:

Note que o problema nos pede os juros mensais i. Temos M = 11.760, C = 6.000 e t = 12 (1 ano = 12 meses). Substituindo na fórmula que elaboramos: 

11.760 = 6000 (1 + i 12) 

11.760/6.000 = 1 + 12i 

1,96 = 1 +12i 

1,96 – 1 = 12i 

0,96 = 12i 

i = 0,96/12 i = 0,08 ou 8%

EXERCÍCIOS

1 - (Unemat/2012) Um capital de R$600,00, aplicado à taxa de juros simples de 30% ao ano, gerou um montante de R$1320,00, depois de certo tempo. O tempo de aplicação foi de:

A) 1 ano

B) 2 anos

C) 3 anos

D) 4 anos

E) 5 anos 

RESPOSTA:

Letra D. Aplicando a fórmula proposta temos C = 600, i = 30% = 30/100 = 0,3 e M = 1320: 

1320 = 600(1+0,3t)

1320/600 = 1 + 0,3t

2,2 = 1 + 0,3t

2,2 – 1 = 0,3t

1,2 = 0,3t

t = 1,2/0,3

t = 4 anos

2 - (UFPI) Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês, durante 5 meses e, em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples de 4% ao mês. No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 234,00. Qual o valor da quantia aplicada inicialmente?

Resposta

Veja que existem montantes diferentes em dois momentos: M que é no final dos 5 primeiros meses e M que é o montante no final de 10 meses. Portanto M = 234 

M = C(1 + 0,06 x 5)

M = C(1 + 0,3)

M = 1,3C

M = 1,3C(1 + 0,04 x 5)

M = 1,3C (1 + 0,2)

M = 1,3C x 1,2

M = 1,56C

234 = 1,56C

234/1,56 = C

C = 150

R$150,00. 

3 - (UF-Uberlândia) Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.800,00 ou então com R$ 400,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.500,00 após 2 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 

Resposta

A pessoa que paga a prazo tem uma diferença de 1400 reais na hora da compra. No entanto, ela deve um montante final de 1500 reais daqui a dois meses. Ou seja, há uma taxa de juros i. 

1500 = 1400(1 + i x 2)

1500/1400 = 1 + 2i

1,071 = 1 +2i

1,071 – 1 = 2i

0,071 = 2i

i = 0,071/2

i = 0,035 

i = 3,5%

Resposta: 3,5% de juros ao mês.

MATEMÁTICA ENEM

Enem tem sido assim....

01-(Enem)Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas, e anotar o número obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de frequências.

A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são, respectivamente:

a) 3, 2 e 1

b) 3, 3 e 1

c) 3, 4 e 2

d) 5, 4 e 2

e) 6, 2 e 4

(Enem-MEC) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras mostrado. 

01) O número de residências atingidas nesta pesquisa foi de aproximadamente:

a) 100

b ) 135

c) 150

d) 200

e) 220

02) A porcentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TVB é aproximadamente:

a( X ) 15% b( ) 20%  c( ) 22%     d( ) 27%     e( ) 30%

03-(Enem-MEC) Uma escola de ensino médio tem 250 alunos que estão matriculados na 1ª, 2ª ou 3ª série. 32% dos alunos são homens e 40% dos homens estão na 1a série. 20% dos alunos matriculados estão na 3ª série, sendo 10 alunos homens. Dentre os alunos da 2ª série, o número de mulheres é igual ao número de homens. A tabela pode ser preenchida com as informações dadas.

 O valor de a é

  a(   ) 10                

 b(   ) 48                    

 c ( X ) 92               

 d (   ) 102           

e (   ) 120

Solução. De acordo com as informações do texto, temos:

i) Homens: 32% de 250 alunos = 250 x 0,32 = 80 homens ii) 1ª série: 40% de 80 homens = 0,4 x 80 = 32

iii) 3ª série: 20% dos 250 alunos = 0,2 x 250 = 50 alunos, sendo 10 homens. Organizando esses dados na tabela e completando o que falta encontramos a = 92. 

04-ENEM/2012) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.

A quantidade de cartas que forma o monte é:

a) 21.

b) 24.

c) 26.

d) 28

e) 31.

SOLUÇÃO: A quantidade de cartas que forma o monte é 52 – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 52 – 28 = 24.

05- (ENEM/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

SOLUÇÃO:

O número total de possibilidades de uma personagem esconder um dos 5 brinquedos em um dos 9 cômodos é 6 x 5 x 9 = 270.

06-(ENEM/2012) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:

QO = – 20 + 4P

QD = 46 – 2P

em que QO e quantidade de oferta, QD e a quantidade de demanda e P e o preço do produto.

A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.

Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?

a) 5.

b) 11.

c) 13.

d) 23.

e) 33.

Solução: Sendo QO = – 20 + 4P e QD = 46 – 2P, o preço de equilíbrio se obtém para QO = QD.

Logo, – 20 + 4P = 46 – 2P ⇔ P = 11

07-(ENEM/2012) Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques.

Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3,00 e que uma bicicleta custa 9 200 tíquetes.

Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é:

a) 153.

b) 460.

c) 1 218.

d) 1 380.

e) 3 066.

Solução: Para que uma criança que recebe 20 tíquetes por período acumule 9 200 tíquetes (que lhe permitem trocá-los pela bicicleta), ela deverá jogar por 9 200: 20 = 460 períodos. Como o preço de cada período é de R$ 3,00, o valor gasto será 460 . R$ 3,00 = R$ 1 380,00.

08-(ENEM/2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas.

Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele e de:

a) 12 kg.

b) 16 kg.

c) 24 kg.

d) 36 kg.

e) 75 kg.

Solução: 30 gotas / x kg = 5 gotas / 2 kg

5 x = 30 . 2

5 x = 60

x = 12